Analysis 3 (WS 2020/21):

• Lecture 01: Topologische Räume und stetige Funktionen
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• Lecture 02: Konstruktion von Topologien
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• Lecture 03: Einige Begriffe in topologischen Räumen
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• Lecture 04: Konvergenz
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• Lecture 05: Kompaktheit
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• Lecture 06: Kompaktheit in metrischen Räumen
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  Bug report (Video; in der schriftlichen Ausarbeitung steht es korrekt drinnen):
  -- Bei der Implikation (ii)=>(iii): ich habe den Fall "nicht vollstaendig" vergessen.
  -- Bei der Implikation (iii)=>(i): bei den partitionen Q_n eigenschaft ii) sollte B in Q_n-1 sein.


• Lecture 07: Der Satz von Tychonoff
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  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt):
  -- Bei der Definition von "invarianten Mittel" muss das Supremum in (i) auch über n in Z gehen.


• Lecture 08: Der Satz von Arzela-Ascoli
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• Lecture 09: Der Satz von Stone-Weierstrass
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  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt gesagt):
  -- Bei der Definition von "Unteralgebra" müssen f und g in A sein.
  -- Beim Beweis der Stetigkeit der Multiplikation: der letzte Term muss \|g-\tilde g\|_\infty sein.
  -- Beim Beweis des Satzes: die additive Konstante +\|f\|_\infty ist ein bei dem Argument mit den Schichtmengen A_j und B_j verlorengegangen. Es wird f+\|f\|_\infty approximiert. Nachdem wir die konstante Funktion 1 in der Algebra haben, haben wir damit auch Approximierende fuer f selbst.


• Lecture 10: Das Lemma von Urysohn
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• Lecture 11: Der Satz von Luzin
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  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt):
  -- Bei der Definition von "regulär" ist sup und inf vertauscht. Und es steht \mu(A), sollte aber \mu(B) sein.


• Lecture 12: Der Satz von Kolmogoroff-Riesz
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  Bug report:
  -- Beim Beweis des Satzes (Seite 13/14 in der schriftlichen Ausarbeitung) fehlt ein Rechenschritt (im Video muss die Definition von \psi modifiziert werden). Nämlich: Es gilt
  \|1_{W_a}\Phi_\delta f\|_p = |\lambda(W)^{\frac 1p-1} \int f d\lambda|
  Die Isometriebeziehung ist
  \|1_V\Phi_\delta f\|_p = \| ( \lambda(W)^{\frac 1p-1} \int f d\lambda )_{\|a\|_\infty\leq N} \|_p
  Und jetzt hat man Isometrie bezüglich der von \|.\|_p induzierten Metrik(!).


• Lecture 13: Die Transformationsformel
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• Lecture 14: Der Satz von Sard
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• Lecture 15: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
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  Bug report (Video; in der schriftliche Ausarbeitung ist es richtig):
  -- Bei der Definition von "Atlas" fehlt die Bedingung \bigcup_{i\in I} U_i = M (gesagt habe ich es, aber nicht dazugeschrieben).
  -- Bei der Definition von "stetig differenzierbar" ist \psi \circ F \circ \varphi^{-1} nur auf \varphi(U\cap F^{-1}(V)) definiert. Weiters muss man in der Definition fordern dass F stetig ist. Die Bemerkung im Video dass dieses (ohne irgenwelche weiteren Voraussetzungen) schon folgt ist falsch. Der Grund dafür ist, dass man um von Differenzierbarkeit der Kartenabbildung \psi\circ F\circ\phi^{-1} reden zu können wissen muss dass der Definitionsbereich dieser Abbildung offen ist (oder zumindest eine offene Umgebung von x enthält).
  Bug report (Video):
  -- Beim Beweis dass diffeomorphe Mannigfaltigkeiten die gleiche Dimension haben gehört ab und wann \psi^{-1} anstelle von \psi.
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt gesagt):
  -- Die Einheitssphaere ist \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=1.
  -- Seite 15 oben: l läuft von 1 bis d


• Lecture 16: Eingebettete Mannigfaltigkeiten
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  Bug report (schriftliche Ausarbeitung):
  -- Seite 16, erste Formelzeile: ganz am Schluss gehört \psi^{-1}


• Lecture 17: Das Oberflächenmaß
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• Lecture 18: L¹ als Banachalgebra
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• Lecture 19: Die Fouriertransformation I. Algebraische Eigenschaften
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  Bug report (schriftliche Ausarbeitung):
  -- Seite 8, im Beweis von Teil (i) der Proposition hat sich ein Minus eingeschlichen. Es ist nichts falsch was dortsteht, aber die Aussage passt mit dem Beweis nur bis auf das Minus zusammen.


• Lecture 20: Die Fouriertransformation II. Differenzierbarkeit
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• Lecture 21: Die Fouriertransformation III. Invertierbarkeit
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• Lecture 22: Der orientierbare Rand
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  [Video; in der schriftliche Ausarbeitung ist es richtig]:
  —  (16:22 und 19:20 und 59:53) Bei der Definition des Atlas muss man die Karte auffassen als Abbildung in den R^{n-1}, und nicht nach R^{n-1}\times\{0\}\subseteq R^n.
  —  (37:18 - 38:40) Dieses Argument ist nicht schlüssig, wird unmittelbar im Anschluss richtiggestellt.
  —  (52:54 und 1:05:08) hier gehört \notin\overline G. Weil, der Rand von G wird ja durch =0 beschrieben.
  —  (1:03:50) Das orthogonale Komplement ist 1-dimensional (gesagt habe ich es, aber nicht geschrieben)


• Lecture 23: Ein Integralsatz
  Video [28']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 24: Beweis des Integralsatzes
  Video [115' + 34' + 32']:
  Schritt 1; lokale Version: youtube   /   Schritt 2; lokal-zu-global: youtube   /   Schritt 3; Approximation: youtube
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  Bug report (Video):
  -- (Schritt 1; 14:19) Wieder einmal die Projektion bei der Karte vergessen.
  -- (Schritt 1; 57:07) Nicht in G heisst dass die letzte Koordinate \geq 0 ist. Entsprechend ist p\in[0,1).
  -- (Schritt 1; 1:33:25) Es soll die Determinante von d\Psi sein, und dann fehlt noch das Quadrat (kommt noch ein paar mal vor, und wird später einmal bemerkt und ausgebessert).
  -- (Schritt 3; 6:55) Es fehlt das Komplement.