Funktionalanalysis 1 (SS 2020 und 2021)

• Lecture A01: Vervollständigung metrischer Räume
  
  Video [83']: youtube



• Lecture A02: Topologische Vektorräume
  
  Video [83']: youtube



• Lecture A03: Geometrie und Trennungseigenschaften
  
  Video [83']: youtube
  
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  # 53'53 - 59:30 #

  Diese Proposition gilt auch wenn man anstelle von komplexwertigen Funktionen Funktionen in einen beliebigen normierten Raum nimmt. Der Beweis ist wortwörtlich gleich.




• Lecture A04: Initiale und finale Konstruktionen
  
  Video [75']: youtube
  
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  # 18:25 #

  Wie der gebrachte Beweis zeigt, gilt Punkt (iii) ohne die Voraussetzung dass X selbst T₂ ist.




• Lecture A05: Endlichdimensionale Räume
  
  Video [54']: youtube
  Addendum [5']: (benötigt Lecture A04) youtube



• Lecture A06: Minkowski Funktionale
  
  Video [34']: youtube



• Lecture A07: Ein Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
  
  Video [90']: youtube
  
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  # 26:55 #

  x soll hier aus \hat N (nicht aus X) sein.




• Lecture 01: Ein Trennungssatz von Hahn-Banach
  
  Video [55']: youtube
  
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  # 07:45 #

  f sollte g heissen

  # 27:40 #

  In der Fomulierung vom Satz muss es Re f sein und nicht nur f

  # 34:40 #

  Die Menge A+V[Schlange,Ringerl] und nicht A+V ist offen und konvex

  # 35:10 #

  Wieder Re f und nicht f




• Lecture 02: Konsequenzen des Hahn-Banach Trennungssatzes
  
  Video [37']: youtube



• Lecture 03: Der Satz von Baire
  
  Video [40']: youtube
  
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  # 10:10 #

  Die Norm von T_i x ist kleiner-gleich C

  # 22:49 #

  Im Index gehoert r_l sowie r_n




• Lecture 04: Der Satz von der offenen Abbildung
  
  Video [51']: youtube
  
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  # 12:25 #

  S=1 / \delta T anstelle von \delta T

  # 13:33 #

  ab hier S anstelle von T

  # 14:26 #

  x quer liegt in der offenen Einheitskugel

  # 14:30 #

  T\bar x anstelle von Tx

  # 30:39 #

  A ist eine Teilmenge von X

  # 35:43 #

  graph T anstelle von graph f

  # 37:03 #

  T anstelle von f




• Lecture 05: Schwache Topologien
  
  Video [40']: youtube
  
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  # 34:37 #

  Der Betrag des skalierten Elementes ist \leq c anstelle |f(x)| \leq c

  # 16:55 #

  ( 1 x n ) - Matrix




• Lecture 06: Beispiele schwacher Topologien
  
  Video [35']: youtube
  
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  # 15:02 #

  x in B und ungleich 0

  # 24:30 #

  Operatornorm




• Lecture 07: Operatortopologien
  
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  # 18:17 #

  x in X_1

  # 18:38 #

  \| x \|_1

  # 19:17 #

  x in X_1

  # 21:20 -- 26:30 #

  Dieses Argument ist nicht schlüssig. Die Aussage stimmt - im wesentlichen - schon.
  Die richtige Aussage mit Beweis (ich hoffe es stimmt jetzt wirklich), die diesen Teil des Videos ersetzt, finden Sie hier (pdf).

  # 33:08 #

  im Supremum kommt \| \varphi(f) x_1 \|_2

  # 36:19 #

  alle f_i und f sind in X_1'




• Lecture 08: Lokal gleichmaessige Konvergenz
  
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  # 14:45 #

  Bei beiden initialen Konstruktionen bemerke man dass der Durchschnitt der Kerne gleich Null ist

  # 17:49 #

  abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 4/5

  # 18:13 #

  Beachte dass eine analytische Funktion die nicht ueberall Null ist, auch nicht auf der kleineren Kreisscheibe identisch Null sein kann.




• Lecture 09: Konstruktion von LCS
  
  Video [39']: youtube
  
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  # 22:08 #

  Die Projektion hat Index p_i anstelle von p

  # 29:50 #

  Das Minkowski Funktional \mu_V anstelle von \mu_C

  # 30:02 #

  Der Beweis das die Familie separierend ist ist hier schon fertig; das Argument bis #30:52# ist nicht falsch aber unnötig

  # 35:17 #

  Im Index rC anstelle von 1/r C




• Lecture 10: Der Bipolarsatz
  
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  # 00:00 #

  heisst auf Deutsch offenbar eher Bipolarensatz

  # 27:55 #

  N anstelle von Y

  # 36:29 #

  \forall x\in M gilt <x,y>=0

  # 39:56 #

  bezueglich der Topologie \sigma(Y,\iota(X))

  # 41:55 #

  Analog wie beim Lemma kann man sogar den Annihilator des Abschlusses der linearen Huelle nehmen




• Lecture 11: Der Satz von Banach-Alaoglu
  
  Video [47']: youtube
  
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  # 15:13 #

  Das definieren und argumentieren mit h'_ {\alpha,\beta,y,z} ist richtig aber unnoetig. Einfacher definiere man gleich h als die Linearkombination der Projektionen: h_ {\alpha,\beta,y,z} := \alpha \pi_z +\beta \pi_z - \pi_ {\alpha,\beta,y,z}

  # 16:48 #

  Projektion angewandt auf \varphi(f) anstelle f

  # 18:34 #

  Das \varphi injektiv ist, ist klar aus der Definition




• Lecture 12: Reflexivitaet und der Satz von Goldstine
  
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  # 10:08 #

  \varphi^-1 ist wieder ein isometrischer Isomorphismus wenn \varphi ein solcher ist. Tatsaechlich wuerde das Argument auch funktionieren wenn \varphi nur als bijektiv vorausgesetzt wird, da \varphi^-1 dann nach dem Satz von der offenen Abbildung stetig ist und daher Anwendung von \mathcal F legitim ist.

  # 10:27 #

  Reihenfolge gehoert vertauscht. Mittels dieser Zeile schliesst man daher auf Existenz der Links-inversen.




• Lecture 13: Annihilatoren
  
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  # 21:01 #

  Die Faktortopologie ist die finale Topologie

  # 22:08 #

  Addition auf Funktionalen




• Lecture 14: Skalarprodukte und Orthogonalitaet
  
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  # 12:34 #

  Im Skriptum Polarisationsformel, hier kurz Polarformel benannt (direkt von polar identity).

  # 15:21 #

  - i (x,y)

  # 47:16 #

  \| . \| : X \to [0,\infty)

  # 54:10 #

  Achtung: Paare von Objekten werden als (x,y) bezeichnet, Skalarprodukt von Elementen wird als (x,y) bezeichnet. Beide Bezeichnungen sind absoluter Standard. Manchmal mischt es sich und dann muss man immer mitdenken was gerade was ist.

  # 62:03 #

  Mit dem gleichen Argument, nur die Stetigkeit von (.,.) in der zweiten Komponente benuetzend, erhaelt man dass ( \overline M )^\perp = M^\perp

  # 66:30 #

  Zerlegungen in direkte Summen entsprechen Projektionen




• Lecture 15: Hilbertraeume
  
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  # 11:25 #

  In der Parallelogrammregel fehlen die Quadrate

  # 13:00 #

  Dementsprechend auch in dieser Zeile Quadrate

  # 15:43 #

  Wieder fehlen in der Parallelogrammregel alle Quadrate

  # 16:46 #

  Dementsprechend auch in dieser Zeile Quadrate

  # 20:09 #

  Abstand zu x

  # 24:45 #

  Wir haben im Beweis von (i) gezeigt

  # 42:45 #

  \alpha_1 und \alpha_2 gehoeren konjugiert

  # 51:56 #

  Fuer y=0 ist diese Ungleichung sowieso erfuellt




• Lecture 16: Orthonormalbasen
  
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  # 16:58 #

  im Index \alpha \in A

  # 28:46 #

  auch in die Aussage inkludiert gehoert dass die Abbildung "Dach" wohldefiniert ist (sprich, in den l^2(A) hinein abbildet)

  # 33:33 #

  Man beachte hier und im Folgenden, dass aufgrund dieser Rechnung ein Orthonormalsystem linear unabhaengig ist.

  # 37:58 #

  Aufgrund von der Eigenschaften "eingeringelt 2" ist klein \psi isometrisch

  # 49:36 #

  Im Gegensatz zu seinem Originalplatz wo nur endlich viele der \xi_\alpha verschieden von Null sein duerfen, ist in dieser Zeile in dem mit der roten strichlierten Schlange herkopierten Ausdruck das Element (\xi_\alpha)_{\alpha\in A) beliebig in l^2(A)

  # 84:55 #

  Die Norm von p_n ist gleich 1 fuer alle n\in\mathbb N




• Lecture 17: Vervollstaendigung
  
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  # 6:33 #

  Ein Hilbertraum ist ein Raum mit positiv definitem Skalarprodukt der vollstaendig bzgl der vom Skalarprodukt induzierten Norm ist.

  # 9:49 #

  D sei dichter linearer Teilraum von X

  # 14:18 #

  Die Eindeutigkeit folgt bereits aus der Stetigkeit von F (und benoetigt nicht dass F gleichmaessig stetig ist)

  # 40:42 #

  Man muss wieder mit \iota in den richtigen Raum gehen: \iota \big( \lambda \cdot_X \iota^-1( \hat x ) \big)

  # 51:40 #

  Reihenfolge von \alpha und \beta gehoert vertauscht und bei der identischen Abbildung fehlt der domain. Es soll heissen \alpha \circ \beta = \id_{\hat X_2}

  # 59:43 #

  nach \mathbb C

  # 60:54 #

  Das Quadrat fehlt auf der rechten Seite

  # 62:07 #

  Hier muss man wieder darauf achten im richtigen Raum zu sein: ( \iota^-1( . ) , \iota^-1( . ) )

  # 62:38 #

  nach \mathbb C

  # 63:12 #

  nach \mathbb C

  # 64:11 #

  das Skalarprodukt auf der rechten Seite der Gleichungskette ist das in X, und das auf der linken Seite ist das neu definierte




• Lecture 18: Konjugierte Operatoren
  
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  # 01:51 #

  T^*y'

  # 05:03 #

  Bemerke hier auch, dass Bildung der Konjugierten linear ist: (T+S)^t = T^t +S^t , (\lambda\cdot T)^t = \lambda\cdot T^t

  # 08:37 #

  Die Norm von Tx ist das Supremum ueber den Betrag | y'(Tx) |. Genauso in allen Suprema in dem Argument bis # 12:30 # fehlen auch die Betraege.

  # 16:10 #

  Auch die Linearitaet uebertraegt sich auf die Einschraenkung: (T+S)' = T' +S' , (\lambda\cdot T)' = \lambda\cdot T'

  # 20:28 #

  Das Argument fuer den Beweis von (iii) hier ist richtig, aber schlecht ausgedrueckt. Besser so: Eine Menge ist Null, genau dann wenn ihr Annihilator der ganze Raum ist. Das besagt also ^\perp(M) = \{0\} genau dann wenn [ ^\perp(M) ]^\perp der ganze Raum ist. Nach (einer Folgerung aus) dem Bipolarsatz ist der zweifache Annihilator gleich der abgeschlossenen linearen Huelle von M, wobei sich der Abschluss bezueglich der von der Dualitaet induzierten schwachen Topologie versteht. Nun ist unser M selbst schon ein linearer Teilraum.

  # 20:59 #

  \ran T' ist ein linearer Teilraum (natuerlich nicht immer abgeschlossen)




• Lecture 19: Die Hilbertraumadjungierte
  
  Video [33']: youtube
  
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  # 27:30 #

  In dieser Zeile gehert anstelle von T bzw T^* ueberall U bzw U^*

  # 29:27 #

  U hat Rechts-inverse




• Lecture 20: Kompakte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [35']: youtube
  
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  # 01:57 #

  Norm des Raumes Y

  # 10:29 #

  Die Dimension von \ran T (nicht von Y) ist endlich

  # 12:54 #

  Nullumgebung im Raum \ran T . Entsprechend: Im Raum \ran T gibt es eine kompakte Nullumgebung, und daher ist \dim\ran T<\infty

  # 28:52 #

  S \in K(Y,Z)

  
  
  (Teil 2) Video [41']: youtube



• Lecture 21: Das Spektrum
  
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  # 24:44 #

  y_n ist gleich diesem Ausdruck fuer n>0 . Fuer alle anderen n kann y_n beliebig sein, nur so dass die ganze Folge quadratisch summierbar ist.

  
  
  Video [24']: youtube
  
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  # 04:27 #

  Ist das Polynom p(z) konstant, so muss zusaetzlich \sigma(a) \neq\emptset vorausgesetzt werden damit p( \sigma(a) ) = \sigma(p(a)) gilt.

  # 18:58 #

  0 ist nicht im Spektrum von a^-1

  
  
  Video [18']: youtube
  
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  # 00:00 #

  Dieser Teil war urspruenglich bei Lecture 23 dabei, gehoert aber eigentlich hierher in den Kontext von Banachraeumen. Es gibt nur eine einzige Bemerkung die auf Hilbertraeume Bezug nimmt (ab # 04:17 #). Die kann man getrost erstmal ignorieren, und sich spaeter darueber Gedanken machen.




• Lecture 22: Die Resolvente
  
  Video [67']: youtube
  
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  # 24:52 #

  \rho(a)

  # 31:49 #

  vor der Summe gehoert \frac{-1}{\lambda}

  # 42:47 #

  |\lambda| \to \infty

  # 45:13 #

  In diesem Beweisteil ist es der Satz von Hahn-Banach der als Werkzeug dient

  # 46:46 #

  Die Analytizitaet auf ganz C sieht man genauso indem man bei beliebigen Entwicklungspunkt das Funktional f in die bzgl der Norm konvergente Reihendarstellung der Resolvente hineinzieht.




• Lecture 23: Operatoren im Hilbertraum
  
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  # 03:53 #

  Man sollte besser sagen: mit manchen algebraichen Operationen vertraeglich

  # 29:51 #

  \geq \delta \| x \|^2

  # 53:15 #

  Die Existenz einer solchen affinen Transformation ist klar wenn (Tx,x) \neq (Ty,y). Gilt jedoch Gleichheit, gibt es ohnehin nichts zu beweisen.

  # 58:32 #

  Falsches Vorzeichen. Fuer's Argument ist's egal, trotzdem gehoert +\sin\varphi

  
  
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  # 04:45 #

  Die hier benuetzte Ungleichung \| T^*T \| \leq \| T^* \| \| T \| ist richtig, aber zu schwach. Damit ist die daraus in der naechsten Zeile hingeschriebene Folgerung \| T^2 \| = \| T \|^2 durch das angeschriebene Argument nicht bewiesen. Anstelle der zu schwachen Ungleichung, verwende man nochmals die ``rote'' Beziehung um zu schliessen, dass \| T^*T \|^2 = \| T \| ^4. Damit ist dann die hingeschriebene Folgerung tatsaechlich legitimisiert.

  # 08:27 #

  In der (Wiederholung der) Definition des Residualspektrums fehlt die Bedingung \ker ( T-\lambda ) = \{0\}




• Lecture 24: Spektrum kompakter Operatoren
  
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  # 05:24 #

  Die Bedingung T(M_n)\subseteq M_n folgt bereits wenn man alles andere hat (siehe das Argument ab # 19:23 #).

  # 09:09 #

  Hier ist Indexchaos: es soll heissen Tx_m - (T-\lambda_n)x_n

  # 19:59 #

  \lambda_n anstelle von λ

  # 21:00 - 26:30 #

  Beim Beweis vom Korollar Punkt (i) fehlt der Fall: \exists n mit \dim\ker(T-\lambda)^n=\infty.
  Das Argument ist auch in diesem Fall: wende die Proposition mit geeigneten Daten an. Nämlich wie folgt.
  Sei n minimal mit \dim\ker(T-\lambda)^n=\infty. Setze M_0=\ker(T-\lambda)^{n-1} falls n\geq 1 und M_0=\{0\} falls n=1. Wähle eine Folge M_1,M_2,\ldots von linearen Teilräumen von \ker(T-\lambda)^n mit M_{k-1}\subseteq M_k und \dim M_k=\dim M_0+k für alle k\geq 1. Setze \lambda_n=\lambda für alle n.

  # 31:19 #

  Bezeichne die Eigenvektoren mit e_n anstelle von x_n

  # 42:25 #

  Im Allquantor schreibe noch dazu x\in M. Also: \forall x\in M , \|x\|=1

  # 43:06 #

  Im Existenzquantor schreibe noch dazu x_n\in M. Also: \exists x_n\in M , \|x_n\|=1

  # 55:56 #

  Das Produkt ist versehen mit der Summennorm.




• Lecture 25: Der Satz vom abgeschlossenen Bild
  
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  # 01:14 #

  Raumverwechslung: \| . \|_Y

  # 01:43 #

  Ebenso: w^* Topologie auf X'

  # 01:55 #

  Ebenso: \| . \|_{X'}

  # 24:13 #

  Ebenso: (T')^-1 bildet ab von \ran T' auf Y'

  # 27:40 #

  Diesen Abschluss

  # 33:00 #

  \ran T' geschnitten mit der Kugel

  # 38:34 #

  Ist zwar das Gleiche (weil der Dualraum eines normierten Raumes gleich dem seiner Vervollstaendigung ist), aber man sollte eigentlich besser sagen: S' bildet ab von ( \overline{\ran T} )' auf




• Lecture 27: Multiplikationsoperatoren
  
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  # 02:33 #

  \mu soll ein endliches Maß sein. Tatsaechlich geht alles fuer \sigma-endliche Maße genauso, aber es braucht an manchen Stellen ein bischen mehr Technik.

  # 03:22 #

  hier ist 1 \leq p \leq \infty

  # 12:10 #

  hier und in der naechsten Zeile die Potenz hoch p vergessen

  
  
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  # 00:57 #

  Wir werden auch zeigen, dass \sigma(M_\phi)=\sigma_{app}(M_\phi)

  # 09:50 #

  Beweisgang wird ein bischen anders als hier angekuendigt

  # 28:41 #

  <\alpha_\lambda

  # 43:32 #

  hier habe ich den Fall p=\infty vergessen

  # 44:30 #

  oBdA sei K unendlich. Ist K endlich, so kann man eine Matrix mit Spektrum K nehmen.

  
  
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  # 07:15 #

  Hier wird eigentlich eine allgemeine Tatsache gezeigt: hat T endlichdimensionales Bild, so ist \sigma(T) endlich.

  # 10:02 #

  Auch hier wird eine allgemeine Tatsache gezeigt: Stets gilt dass \phi^-1( \rho(M_\phi) ) eine \mu-Nullmenge ist.

Funktionalanalysis für WM/FAM

• Lecture 28: Der Spektralsatz fuer kompakte selbstadjungierte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [33']: youtube
  
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  # 13:30 #

  Quadrat fehlt: \alpha_n |^2

  # 14:14 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 15:50 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 18:42 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 32:07 #

  In der Summe an der zweiten Stelle im Skalarprodukt: P_n y

  
  
  (Teil 2) Video [43']: youtube
  
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  # 26:11 #

  -\lambda e

  
  
  (Teil 3) Video [55']: youtube
  
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  # 11:05 #

  im Abschluss des Wertebereiches

  # 20:28 #

  T muss natuerlich auch nicht invertierbar sein, aber fuer uns hier ist relevant dass der Operator R nicht invertierbar sein muss.

  # 30:32 #

  Bemerke: die Wurzel A^{\frac 12} eines positiven kompakten Operators ist definiert als Reihe. Diese Reihe konvergiert in der Operatornorm und alle Partialsummen sind Operatoren mit endlichdimensionalem Bild. Also ist A^{\frac 12} kompakt.

  # 35:27 #

  W eingeschraenkt auf \ran R

  # 52:55 #

  Hier und im folgenden Term (# 53:12 #) gehoert s_n(T)^2




• Lecture 29: Der Satz von Krein-Milman
  
  (Teil 1) Video [39']: youtube
  
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  # 10:20 #

  Und die Menge aller Extremalpunkte von C heisst E(C)

  # 22:37 #

  \mathcal M ist die Menge aller S die extremal und kompakt sind

  # 38:14 #

  Dieser Durchschnitt ist also = \emptyset

  
  
  (Teil 2) Video [52']: youtube
  
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  # 34:57 #

  ist eine Teilmenge vom Komplement von L

  # 39:20 #

  Die Menge der Spalten die keinen 1er enthalten heisst J




• Lecture 30: Der Satz von Dunford-Pettis
  
  (Teil 1) Video [19']: youtube
  
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  # 00:33 #

  Im Integranden g anstelle von f.

  
  
  (Teil 2) Video [63']: youtube
  
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  # 13:04 #

  Im Integranden g anstelle von f.

  # 13:08 #

  Es ist praktischer wenn man hier \leq \epsilon nimmt.

  # 52:09 #

  \mu(A) < \frac 1n

  # 56:20 #

  Beachte hier, dass der Normabschluss der linearen Huelle gleich ihrem schwachen Abschluss ist

  
  
  (Teil 3) Video [44']: youtube
  
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  # 04:22 #

  Die Menge \mathcal F muss gleichgradig absolut stetig und beschraenkt sein

  # 07:00 #

  Die rot geschriebene Bedingung ist \forall g\in L^\infty(\mu) . \iota(f_i)(g) \to \phi(g)

  # 13:07 #

  Am Ende der Zeile fehlt ein Betragsstrich

  # 17:00 #

  Fuer alle epsilon gibt es N_0 sodass...

  # 18:15 #

  Um die absolute Stetigkeit zu zeigen, braucht man gar nichts

  # 22:54 #

  L^1( |\nu| )

  # 23:12 #

  Das erste Integral ist ∫ g d\nu. Und integriert wird jeweils ueber \Omega

  # 24:32 #

  Auch beim rechten Integral wird ueber \Omega integriert

  # 36:56 #

  w*-Abschluss




• Lecture 31: Fixpunktsatz von Brouwer
  
  Video [56']: youtube
  
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  # 30:15 #

  das stimmt schon, wir werden aber die Retraktion einfacher erhalten weil R^n ein Hilbertraum ist




• Lecture 32: Fixpunktsatz von Schauder
  
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  # 17:46 #

  \beta(x) bezeichnet die Summe: \beta(x) = \sum_{i=1}^n \beta_i(x)




• Lecture 33: Fixpunktsatz von Kakutani-Fan-Glicksberg
  
  (Teil 1) Video [39']: youtube
  
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  # 31:22 #

  diese Bedingung braucht man eigentlich gar nicht

  # 34:36 #

  y_U(i) - U(i)

  # 35:11 #

  y_U(i) - U(i)

  
  
  (Teil 2) Video [41']: youtube
  
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  # 08:38 #

  dieses x ist ein anderes als das vorher und wird gleich umbenannt

  # 27:19 #

  Hier und in den folgenden Zeilen: f_l

Funktionalanalysis für TM

• Lecture 26: Der Satz von Krein-Smulian
  
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  # 04:58 #

  und mit der gleichen Schranke

  # 20:40 #

  Bidual von \ell^1

  # 42:44 #

  gewissen Polare (nicht Annihilator)

  # 42:57 #

  wieder: Polare

  # 48:46 #

  F ist enthalten in der Kugel im Raum Z

  # 51:52 #

  wieder: Kugel im Raum Z

  # 58:58 #

  Die hingeschriebene Inklusion ist richtig, aber gesagt wird das Falsche: anstelle von Teilmenge Obermenge




• Lecture 28: Der Spektralsatz fuer kompakte selbstadjungierte Operatoren (nur Teil 1)
  
  (Teil 1) Video [33']: youtube
  
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  # 13:30 #

  Quadrat fehlt: \alpha_n |^2

  # 14:14 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 15:50 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 18:42 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 32:07 #

  In der Summe an der zweiten Stelle im Skalarprodukt: P_n y




• Lecture 34: Spektralmaße
  
  Video [62']: youtube
  
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  # 39:51 #

  Quadrat fehlt bei der letzten Norm

  # 47:36 #

  \phi muss auch messbar sein

  # 59:10 #

  \|\phi\|_\infty




• Lecture 35: Integration als *-Homomorphismus
  
  (Teil 1) Video [48']: youtube
  
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  # 04:08 #

  \exists e \forall a . a e = e a = a

  
  (Teil 2) Video [50']: youtube
  
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  # 10:59 #

  Hier von Punktmassen zu reden ist Quatsch; das was dann aufgeschrieben ist, ist richtig.

  # 17:48 #

  Hier fehlt das Komplement

  # 31:21 #

  Hier und in der folgenden Zeile gehoert \frac 1{n^2}

  # 34:59 #

  Innerhalb der Mengenklammer besser eine andere gebundene Variable; x ist ja schon belegt.

  # 36:46 #

  Hier fehlt zwei Mal \phi^{-1}

  # 43:28 #

  In dem Argument ist das \phi^-1 verloren gegangen. Entweder man definiert die \Delta_i als \phi^{-1}(...), das ist was dann nachher so ausgebessert wird, oder man nimmt fuer die Treppenfunktion bei # 44:51 # dann die Indikatoren der Mengen \phi^-1(\Delta_i) ... geht auch.




• Lecture 36: Rieszscher Darstellungssatz - Variante
  
  (Teil 1) Video [20']: youtube
  
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  # 14:06 #

  Hier gehoert \Phi anstelle von E: \Phi \Big( \sum_i=1^N \mathds{1}_{\Delta_i} \Big)

  
  (Teil 2) Video [58']: youtube
  
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  # 51:09 #

  integriert wird nach \tilde E




• Lecture 37: Der Spektralsatz fuer beschränkte selbstadjungierte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [45']: youtube
  
  (Teil 2) Video [31']: youtube
  
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  # 09:30 #

  \| A \|

  # 18:53 #

  Die Summe, hier und in der ganzen Bemerkung, sollte eigentlich bei n=0 anfangen. Aendert aber nichts an dem was gesagt wird.

  # 24:18 #

  g \neq 0

  
  (Teil 3) Video [46']: youtube
  
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  # 05:30 #

  \gamma_1+\gamma_2

  # 23:17 #

  positives Borelmaß auf \bb R mit kompaktem Traeger

  # 27:45 #

  Beachte hier: Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenenen Diagonalelementen. Dieser Punkt ist nachher wichtig.

  # 32:42 #

  mehrfache Eigenwerte

  # 33:00 #

  Was ich hier leidlich verzweifelt auszudruecken versuche ist: wenn es mehrfache Eigenwerte gibt, ist der L^2(\mu) nicht isomorph zum C^N (weil zu klein). Dann muss man eine direkte Summe von L^2 Raeumen nehmen die die Eigenwerte sozusagen schichtweise abtragen.




• Lecture 38: Ein Differentialoperator
  
  Video [58']: youtube
  
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  # 22:13 #

  Die Lösung h_0 soll reellwertig und nicht identisch Null sein.

  # 23:09 #

  Die Lösung h_1 soll reellwertig und nicht identisch Null sein.

  # 43:00 #

  Die Greensche Funktion hat das falsche Vorzeichen.

  # 44:13 #

  Hier meine ich mit L nur den Differentialausdruck ohne Randbedingungen. Am besten L(Gf)(x) einfach weglassen.

  # 49:24 #

  Links inverse